Question

【題目】綜合題。
（1）如圖①，△ABC中，點D、E在邊BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C=40°，∠B=60°，求：①∠CAE的度數；②∠DAE的度數．
（2）如圖②，若把（1）中的條件“AD⊥BC”變成“F為AE延長線上一點，且FD⊥BC”，其他條件不變，求出∠DFE的度數．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F為EA延長線上一點，FD⊥BC，且∠C=α，∠B=β（β＞α），試猜想∠DFE的度數（用α，β表示），請自己作出對應圖形并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖（1）．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，

∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°，

而AE平分∠BAC，

∴∠BAE= ∠BAC= ×80°=40°，

∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°；

（2）解：如圖2中，作AH⊥BC于H．

由（1）可知∠HAE=10°，

∵AH∥EF，

∴∠DFE=∠HAE=10°

（3）解：結論：∠DFE= （∠B﹣∠C）．理由如下：

如圖3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．

∵∠HAE=∠EAB﹣∠BAH，∠BAH=90°﹣∠B，∠BAE= （180°﹣∠B﹣∠C），

∴∠HAE=90°﹣ ∠B﹣ ∠C﹣（90°﹣∠B）

= （∠B﹣∠C），

∵AH∥FD，

∴∠DFE=∠HAE，

∴∠DFE= （∠B﹣∠C）．

【解析】（1）如圖1中，求出∠BAD，∠BAE，根據∠DAE=∠BAE﹣∠BAD即可解決問題．（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中結論，再證明∠DFE=∠HAE即可．（3）結論：∠DFE= （∠B﹣∠C）．如圖3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．由∠HAE=∠EAB﹣∠BAH，∠BAH=90°﹣∠B，∠BAE= （180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE=90°﹣ ∠B﹣ ∠C﹣（90°﹣∠B）= （∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE=∠HAE，即可解決問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的內角和外角和三角形的外角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．