Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸的正半軸上.若點，在線段上，且為某個一邊與軸平行的矩形的對角線，則稱這個矩形為點、的“涵矩形”.下圖為點，的“涵矩形”的示意圖.

（1）點的坐標為.

①若點的橫坐標為，點與點重合，則點、的“涵矩形”的周長為__________.

②若點，的“涵矩形”的周長為，點的坐標為，則點，，中，能夠成為點、的“涵矩形”的頂點的是_________.

（2）四邊形是點、的“涵矩形”，點在的內部，且它是正方形.

①當正方形的周長為，點的橫坐標為時，求點的坐標.

②當正方形的對角線長度為時，連結.直接寫出線段的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①． ②；（2）①點的坐標為或．②．

【解析】

(1)①利用A、B的坐標求出直線AB的解析式，再將P點橫坐標代入，計算即可得點、的“新矩形”的周長；②由直線AB的解析式判定是否經過E、F、G三點，發現只經過了F（1，2），能夠成為點、的“涵矩形”的頂點的是F（1，2）

（2）①①根據正方形的性質可得出∠ABO=45°，結合點A的坐標可得出點B的坐標及直線AB的函數表達式，由的橫坐標為，可得出點P的坐標，再由正方形的周長可得出點Q的坐標，進而可得出點Q的坐標；②由正方形的對角線長度為，可得正方形的邊長為1，由直線AB的解析式y=-x+6可知M點的運動軌跡是直線y=-x+5，由點在的內部，x的取值范圍是0<x<5,OM＜5，OM最小值是由O向直線y=-x+5作垂線段，此時OM= ，可得OM的取值范圍.

（1）①解：由A(0,6),B(3，0)可得直線AB的解析式為：y=-2x+6，

∵P點橫坐標是

∴當x=時，y=3

∴P（，3）．

∵ 點與點重合，

∴Q（3，0）

∴點、的“涵矩形”的寬為：3-=，長為3-0=3

∴點、的“涵矩形”的周長為：

故答案為：9

②．由①可得直線AB的解析式為：y=-2x+6可設Q(a,-2a+6),則成為點、的“涵矩形”的頂點且在AOB內部的一點坐標為M（1，-2a+6）

∴PM=4-(-2a+6)=2a-2，MQ=a-1

∵點，的“涵矩形”的周長為

∴PM+MQ=3

∴2a-2+a-1=3

解得：a=2

∴M(1,2)

故答案為：F(1,2),只寫或也可以.

（2）①點、的“涵矩形”是正方形，

，

點的坐標為，

點的坐標為 ，

直線的函數表達式為．

點的橫坐標為，

點的坐標為．

正方形的周長為，

點的橫坐標為或，

點的坐標為或．

②∵正方形的對角線長度為，

∴可得正方形的邊長為1，

因為直線AB的解析式y=-x+6可設M點的運動軌跡是直線y=-x+b，且過（0，5）

故M點的運動軌跡是直線y=-x+5

∵點在的內部，x的取值范圍是0<x<5,

∴當M落在OB或者OA邊上時，OM取得最大值，此時OM=5,由于點在的內部，

∴OM＜5，

當OM⊥直線y=-x+5時，OM取得最小值，此時OM= ，

∴OM的取值范圍.．

故答案為：