Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+ax+b的圖象與y軸交于點A（0，﹣2），與x軸交于點B（1，0）和點C，D（m，0）（m＞2）是x軸上一點．

（1）求二次函數的解析式；
（2）點E是第四象限內的一點，若以點D為直角頂點的Rt△CDE與以A，O，B為頂點的三角形相似，求點E坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形BCEF為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意，得 ，

解得： ，

∴二次函數的解析式為：y=﹣x2+3x﹣2；

（2）

當y=0時，有﹣x2+3x﹣2=0，

解得，x1=1，x2=2，

∴OC=2．

由題意得AO=2，BO=1，CD=m﹣2．

當△CDE∽△AOC時，

得 = ，

∴ = ，

∴DE= ．

∵點E在第四象限，

∴E1（m， ）．

當△DEC∽△AOC時，得 = ，

∴ = ．

∴DE=2m﹣4．

∵點E在第四象限，

∴E2（m，4﹣2m）；

（3）

假設拋物線上存在一點F，使得四邊形BCEF為平行四邊形，則EF=BC=1，

點F的橫坐標為m﹣1，

當點E1的坐標為：（m， ）時，點F1的坐標為：（m﹣1， ），

∵點F1在拋物線的圖象上，

∴ =﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴2m2﹣11m+14=0，

∴（2m﹣7）（m﹣2）=0，

解得：m1= ，m2=2（舍去），

∴F1（ ，﹣ ）．

當點E2的坐標為：（m，4﹣2m）時，點F2的坐標為：（m﹣1，4﹣2m），

∵點F2在拋物線的圖象上，

∴4﹣2m=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴m2﹣7m+10=0，

∴（m﹣2）（m﹣5）=0，

∴解得：m1=2（舍去），m2=5，

∴F2（4，﹣6），

∴使得四邊形BCEF為平行四邊形的點F的坐標為：F1（ ，﹣ ），F2（4，﹣6）．

【解析】（1）直接將A，B點代入二次函數解析式進而得出答案；（2）分別利用當△CDE∽△AOC時以及當△DEC∽△AOC時，分別得出E點坐標即可；（3）利用平行四邊形的性質表示出F點坐標進而得出答案．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．