Question

【題目】閱讀理解：在平面直角坐標系中，對于任意兩點與的“非常距離”，給出如下定義：

若，則點與點的“非常距離”為；

若，則點與點的“非常距離”為．

例如：點，點，因為，所以點與點的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點為垂直于軸的直線與垂直于軸的直線的交點）．

（1）已知點，為軸上的一個動點．

①若點（0，3），則點與點的“非常距離”為　　 ；

②若點與點的“非常距離”為2，則點的坐標為　　 ；

③直接寫出點與點的“非常距離”的最小值為　　 ；

（2）已知點（0，1），點是直線上的一個動點，如圖2，求點與點“非常距離”的最小值及相應的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①3；②B（0，2）或（0，﹣2）；③；（2）最小值為， ．

【解析】

(1)①根據若,則點與點的“非常距離”為解答即可;
②根據點B位于y軸上,可以設點B的坐標為.由“非常距離”的定義可以確定,據此可以求得y的值;
③設點B的坐標為.因為,所以點A與點B的“非常距離”最小值為;

(2)設點C的坐標為.根據材料“若,則點與點的“非常距離”為”,此時，列出再求解,據此可以求得最小值和點C的坐標.

解：（1）① ，.

∵ ，∴點A與點B的“非常距離”為3．

② ∵B為y軸上的一個動點，∴設點B的坐標為（0，y）．

∵，∴.

解得，y＝2或y＝﹣2；

∴點B的坐標是（0，2）或（0，﹣2）.

③ 點A與點B的“非常距離”的最小值為．

（2）如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，

需要根據運算定義“若，則點與點的‘非常距離’為”解答，此時.

∵是直線上的一個動點，點D的坐標是（0，1），

∴設點的坐標為，則

∴或，∴或.

∵ ，∴點C與點D的“非常距離”的最小值為，

此時．