Question

【題目】四邊形ABCD為矩形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E．

（1）如圖1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于點F，求證：AF﹣BF=EF；
（2）如圖2，在（1）條件下，AG= BG，求 ；
（3）如圖3，連EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，則CE=（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，AB=BC，

∴四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

又DE⊥AG，BF∥DE，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABF=90°，

∴∠DAE=∠ABF，

在△AED和△BFA中，

∴△AED≌△BFA（AAS），

∴AE=BF，

∴AF﹣BF=EF，

（2）解：如圖2，延長AG與DC交于點F，

∵AG= BG，設BG=t，則AG= t，

在Rt△ABG中，AB= =2t，

∴G為BC的中點，

在△ABG和△FCG中，

∴△ABG≌△FCG（AAS），

∴AB=FC=CD，

又∵DE⊥AG，

在Rt△DEF中，C為斜邊DF的中點，

∴EC=CD=CF，

∴ = =

（3）
【解析】解：（3）如圖3，連接DG，作EM⊥BC于M點，

∵DE⊥AG，DE=2，GE=1，

∴在Rt△DEG中，DG= = = ，

∵CG=CD，

∴在Rt△DCG中，∠CDG=∠CGD=45°，

∴CD=CG= = ，

∵∠BAG+∠GAD=90°，∠EDA+∠GAD=90°，

∴∠BAG=∠EDA，

∵∠ABG=∠DEA=90°，

∴△ABG∽△DEA，

∴ = ，

設AD=x，則AE= = ，AG= +1，

∴ = ，

解得x1= ，x2=﹣2 （舍去）

∴AE= = ，

又∵∠BAG=∠MEG，

∴∠EDA=∠MEG，

∴△EMG∽△DEA

∴ = = ，即 = =

解得EM= ，MG= ，

∴CM=CG+MG= + = ，

∴CE= = = ．

所以答案是： ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．