Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高.

（1）試判斷線段DE與FH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）求證：∠DHF=∠DEF.

Answer 1

【答案】（1）DE與FH相等. 理由見解析，（2）證明見解析.

【解析】

（1）DE=FH，點(diǎn)D，E，F分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可得到DE=AC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出FH=AC，進(jìn)而得到DE=FH．
（2）利用已知條件先證明∠DHF=∠DAF，再證明∠DEF=∠DAF，進(jìn)而可證明：∠DHF=∠DEF．

（1）DE與FH相等. 理由如下：

∵D、E分別是AB、BC邊的中點(diǎn),

∴DE∥AC，DE=AC，

∵AH⊥BC，垂足為H，F是AC的中點(diǎn)，

∴HF=AC，

∴DE=FH.

（2）∵D、E分別是AB、BC邊的中點(diǎn), AH⊥BC，

∴DH=AB，AD=AB，∴AD=DH，∴∠DAH=∠DHA，

同理可證：∠FAH=∠FHA，

∴∠DHF=∠DAF，

∵D、E分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，

∵AD∥EF，DE∥AF，

∴四邊形ADEF是平行四邊形，

∴∠DEF=∠DAF，

∴∠DHF=∠DEF.

故答案為：（1）DE與FH相等. 理由見解析，（2）證明見解析.