Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，直線l交⊙O于C₁、C₂，AD⊥l，垂足為D．
（1）求證：AC₁•AC₂=AB•AD．
（2）若將直線l向上平移（如圖2），交⊙O于C₁、C₂，使弦C₁C₂與直徑AB相交（交點不與A、B重合），其他條件不變，請你猜想，AC₁、AC₂、AB、AD之間的關系，并說明理由．
（3）若將直線l平移到與⊙O相切時，切點為C，其他條件不變，請你在圖3上畫出變化后的圖形，標好相應的字母并猜想AC、AB、AD的關系是什么？（只寫出關系，不加以說明）

Answer 1

（1）證明：連接BC₂．
∵AB為直徑，∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁•AC₂=AB•AD．

（2）當l向上平移后，連接BC₂．
∵AB為直徑，
∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁•AC₂=AB•AD．

（3）AC²=AB•AD．
畫草圖．