Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC切于點(diǎn)D，直線ED交BC的延長線于F．
（1）求證：BC=FC；
（2）若AD：AE=2：1，求cot∠F的值．

Answer 1

（1）證明：連接BD．（1分）
∵BE是直徑，
∴∠BDE=90°，
∴∠EBD=90°-∠BED．
∵∠EBF=90°
∴∠F=90°-∠BEF．
∴∠F=∠EBD．（2分）
∵⊙O切AC于D，
∴∠EBD=∠ADE=∠CDF．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF，（3分）
∵OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線，
由切線長定理可知：CD=CB．
∴BC=FC．（4分）

（2）在△ADE和△ABD中，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABD，
∴△ADE∽△ABD．（6分）
∴

AE

AD

=

DE

BD

，
∵AD：AE=2：1．
∴BD：DE=2：1，
又∵∠F=∠EBD．
∴cot∠F=cot∠EBD=

BD

DE

=2．（9分）