Question

如圖，已知CB、CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC的中線，且AC=AB，給出下列結論：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，則以上結論正確的是（　　）

A．①②④

B．①③④

C．①②③

D．①②③④

Answer 1

①∵CB是三角形ACE的中線，
∴AE=2AB，又AB=AC，∴AE=2AC．故此選項正確；
②取CE的中點F，連接BF．
∵AB=BE，CF=EF，
∴BF∥AC，BF=

1

2

AC．
∴∠CBF=∠ACB．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC．
∴∠CBF=∠DBC．
又CD是三角形ABC的中線，
∴AC=AB=2BD．
∴BD=BF．
又BC=BC，
∴△BCD≌△BCF，
∴CF=CD．
∴CE=2CD．
故此選項正確．
③若要∠ACD=∠BCE，則需∠ACB=∠DCE，又∠ACB=∠ABC=∠BCE+∠E=∠DCE，則需∠E=∠BCD．
根據②中的全等，得∠BCD=∠BCE，則需∠E=∠BCE，則需BC=BE，顯然不成立，故此選項錯誤；
④根據②中的全等，知此選項正確．
故選A．