Question

15．如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，二次函數 y=a（x+2）（x-4）（a＜0）的圖象與 x 軸交于 A，B 兩點（點 A 在點 B的左側），頂點為 M，經過點 A 的直線 l：y=ax+b 與 y 軸交于點 C，與拋物線的另一個交點為 D．

（1）直接寫出點 A 的坐標（-20）、點 B 的坐標（40）；
（2）如圖（1），若頂點 M 的坐標為（1，9），連接 BM、AM、BD，請求出二次函數及一次函數的解析式，并求出四邊形 ADBM 的面積；
（3）如圖（2），點 E 是直線 l 上方的拋物線上的一點，若△ACE 的面積的最大值為$\frac{49}{4}$時，請直接寫出此時 E 點的坐標．

Answer 1

分析 （1）令y=0解方程即可．
（2）用待定系數法即可求出兩個函數的解析式，再根據A、D、B、M的坐標求出四邊形ADBM的面積．
（3）過點E作EF∥y軸，交直線AD于點F，設E（x，ax²-2ax-8a），寫出△ACE面積的表達式，根據二次函數的最大值列出方程即可解決．

解答 解：（1）如圖一，令 y=0，則a（x+2）（x-4）=0，
解得x₁=-2，x₂=4，
所以A（-2，0），B（4，0）．
故答案為：A（-2，0）；（ 4，0）；

（2）如圖一，連接BD．
∵二次函數 y=a（x+2）（x-4）頂點為（1，9），帶入即可求得 a=1．
∴拋物線為 y=-x²+2x+8，
∵一次函數 y=ax+b 經過 A（-2，0），
∴2=-a+b，
∴b=a，
∴一次函數為：y=-x-2，聯立一次函數與二次函數解析式可求 D（4-7）；
S_{四邊形ADBM}=S_△ABM+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×6×9+$\frac{1}{2}$×6×7=48．

（3）如圖二，過 點 E 作 EF∥y 軸，交 直 線 AD 于 點 F，設 E（x，ax²-2ax-8a），則
F（x，ax+2a），EF=ax²-2ax-8a-（ax+a）=ax²-3ax-10a，
∵S_ACE=S_AFE-S_△CFE=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-10a）?（x+1）-$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-10a）?x=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-10a）=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-10a）
∴當 x=$\frac{3}{2}$時，△ACE 面積最大值=$\frac{-49}{8a}=\frac{49}{4}$，
∴a=-2，
∴此時點 E$（\frac{3}{2}，\frac{35}{2}）$．

點評 本題考查二次函數、一次函數的有關性質、三角形面積、四邊形面積等知識，靈活運用函數與方程的關系是解決問題的關鍵，本題比較難，需要有一定的代數化簡技巧．