Question

【題目】如圖，△ABC紙片中，AB＝BC＞AC，點D是AB邊的中點，點E在邊AC上，將紙片沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處．則下列結論成立的個數有（　　）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE＝∠CFE；③DE是△ABC的中位線；④BF+CE＝DF+DE．

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據題意可知△DFE是△DAE對折的圖形，所以全等，故AD=DF，而AD=BD，所以BD=DF，但是∠B不一定等于45°，所以△BDF不一定是等腰直角三角形，①不成立；結合①中的結論，BD=DF，而∠ADE=∠FDE，∠ADF=∠DBF+∠DFB，可證∠BFD=∠EDF，故DE∥BC，即DE是△ABC的中位線，③成立；若③成立，利用△ADE≌△FDE，DE∥BC，∠AEF=∠EFC+∠ECF，可證∠DFE=∠CFE，②成立；根據折疊以及中位線定理得右邊=AB，要和左邊相等，則需CE=CF，則△CEF應是等邊三角形，顯然不一定，故④不成立．

解：①根據折疊知AD＝DF，所以BD＝DF，即一定是等腰三角形．因為∠B不一定等于45°，所以①錯誤；

②連接AF，交DE于G，根據折疊知DE垂直平分AF，又點D是AB邊的中點，在△ABF中，根據三角形的中位線定理，得DG∥BF．進一步得E是AC的中點．由折疊知AE＝EF，則EF＝EC，得∠C＝∠CFE．又∠DFE＝∠A＝∠C，所以∠DFE＝∠CFE，正確；

③在②中已證明正確；

④根據折疊以及中位線定理得右邊＝AB，要和左邊相等，則需CE＝CF，則△CEF應是等邊三角形，顯然不一定，錯誤．

故選：B．