Question

13．如圖，直線y=x+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A、B兩點，延長AO交雙曲線于C點，連接BC，且AB=2BC=4$\sqrt{2}$，則k=3．

Answer 1

分析 過O作OD⊥AB于點D，根據直線y=x+b中的k=1得到OD所在直線為y=-x，于是得到直線y=x+b關于此直線軸對稱，雙曲線y=k/x關于O中心對稱，求得AD=BD，AO=OC，根據平行線的性質得到BC⊥AC，設A（x，y）則B（-y，-x），根據勾股定理和兩點間的距離公式得到（2x）²+（2y）²=（2$\sqrt{10}$）²，（x+y）²+（y+x）²=（4$\sqrt{2}$）²求得點A 坐標為（1，3）于是得到結論．

解答 解：過O作OD⊥AB于點D，
∴OD所在直線為y=-x，
∴直線y=x+b關于此直線軸對稱，雙曲線y=k/x關于O中心對稱，
∴AD=BD，AO=OC，
∴OD∥BC，
∴BC⊥AC，
設A（x，y）則B（-y，-x），
∵AB=2BC=4$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴（2x）²+（2y）²=（2$\sqrt{10}$）²，（x+y）²+（y+x）²=（4$\sqrt{2}$）²
解得x=1，y=3
∴點A 坐標為（1，3）
∴k=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點坐標，勾股定理，兩點間的距離公式，正確的理解題意是解題的關鍵．