Question

【題目】等腰△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，BE是∠ABC的平分線，交AC于E，點D是AB的中點，連接DE，作EF∥AB于點F．

（1）求證四邊形BDEF是菱形；

（2）如圖以DF為一邊作矩形DFHG，且點E是此矩形的對稱中心，求矩形另一邊的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）FH＝4.

【解析】

（1）先證明四邊形BDEF是平行四邊形，再根據DE＝AB＝BD，即可得到四邊形BDEF是菱形；

（2）先證明四邊形BEFH是平行四邊形，得到BE＝FH，再根據BE＝BC＝4，即可得到FH＝4．

解：（1）∵AB＝BC，BE是∠ABC的平分線，

∴E是AC的中點，且BE⊥AC，

又∵點D是AB的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥BF，

又∵EF∥BD，

∴四邊形BDEF是平行四邊形，

又∵Rt△ABE中，點D是AB的中點，

∴DE＝AB＝BD，

∴四邊形BDEF是菱形；

（2）連接EH，

∵點E是此矩形的對稱中心，

∴D，E，H在同一直線上，

∵DE∥BF，

∴EH∥BF，

∵AB=BC，BE是∠ABC的角平分線，

∴點E是AC的中點，且BE⊥AC，

∵EF∥AB，

∴點F是BC的中點，

∵點D是AB的中點，

∴DF∥AC，

∴BE⊥DF，

又∵DFHG是矩形，

∴FH⊥DF，

∴BE∥FH，

∴四邊形BEHF是平行四邊形，

∴BE＝FH，

∵∠ABC＝120°，BE平分∠ABC，

∴∠EBF＝60°，

又∵∠BEC＝90°，

∴∠C＝30°，

∴BE＝BC＝4，

∴FH＝4．