Question

【題目】若三個非零實數x，y，z滿足：只要其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數x，y，z構成“和諧三組數”．

(1)實數1，2，3可以構成“和諧三組數”嗎？請說明理由；

(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三點均在函數y＝(k為常數，k≠0)的圖象上，且這三點的縱坐標y1，y2，y3構成“和諧三組數”，求實數t的值；

(3)若直線y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點A(x1，0)，與拋物線y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點．

①求證：A，B，C三點的橫坐標x1，x2，x3構成“和諧三組數”；

②若a＞2b＞3c，x2＝1，求點P(，)與原點O的距離OP的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)不能，理由見解析；(2)t的值為﹣4、﹣2或2；(3)①證明見解析；②≤OP＜且OP≠1．

【解析】

（1）由和諧三組數的定義進行驗證即可；

（2）把M、N、R三點的坐標分別代入反比例函數解析式，可用t和k分別表示出y1、y2、y3，再由和諧三組數的定義可得到關于t的方程，可求得t的值；

（3）①由直線解析式可求得x1＝﹣，聯立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數的關系可求得x2+x3＝﹣，x2x3＝，再利用和諧三數組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得的取值范圍，令m＝，利用兩點間距離公式可得到OP2關于m的二次函數，利用二次函數的性質可求得OP2的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．

（1）不能，理由如下：

∵1、2、3的倒數分別為1、、，

∴+≠1，1+≠，1+≠，

∴實數1，2，3不可以構成“和諧三組數”；

（2）∵M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三點均在函數(k為常數，k≠0)的圖象上，

∴y1、y2、y3均不為0，且y1＝，y2＝，y3＝，

∴＝，＝，＝，

∵y1，y2，y3構成“和諧三組數”，

∴有以下三種情況：

當＝+時，則＝+，即t＝t+1+t+3，解得t＝﹣4；

當＝+時，則＝+，即t+1＝t+t+3，解得t＝﹣2；

當＝+時，則＝+，即t+3＝t+t+1，解得t＝2；

∴t的值為﹣4、﹣2或2；

（3）①∵a、b、c均不為0，

∴x1，x2，x3都不為0，

∵直線y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點A(x1，0)，

∴0＝2bx1+2c，解得x1＝﹣，

聯立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c＝ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c＝0，

∵直線與拋物線交與B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點，

∴x2、x3是方程ax2+bx+c＝0的兩根，

∴x2+x3＝﹣，x2x3＝，

∴+＝＝＝﹣＝，

∴x1，x2，x3構成“和諧三組數”；

②∵x2＝1，

∴a+b+c＝0，

∴c＝﹣a﹣b，

∵a＞2b＞3c，

∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，

∵P(，)，

∴OP2＝()2+()2＝()2+()2＝2()2+2+1＝2(+)2+，

令m＝，則﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2(m+)2+，

∵2＞0，

∴當﹣＜m＜﹣時，OP2隨m的增大而減小，當m＝﹣時，OP2有最大臨界值，當m＝﹣時，OP2有最小臨界值，

當﹣＜m＜時，OP2隨m的增大而增大，當m＝﹣時，OP2有最小臨界值，當m＝時，OP2有最大臨界值，

∴≤OP2<且OP2≠1，

∵P到原點的距離為非負數，

∴≤OP＜且OP≠1．