Question

【題目】在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：

第一步：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開（如圖①）；

第二步：再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段（如圖②）．

如圖②所示建立平面直角坐標系，請解答以下問題：

（Ⅰ）設直線的解析式為，求的值；

（Ⅱ）若的延長線與矩形的邊交于點，設矩形的邊，；

（i）若，，求點的坐標；

（ii）請直接寫出、應該滿足的條件．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）．

【解析】

（Ⅰ）連接，延長交于點，由折疊的性質可證為等邊三角形，由點的坐標可求得的值；

（Ⅱ）（i）在中，由三角形的性質可求得的長，則可求得的長，可求得點坐標；

（ii）由題意可知，在中，由三角函數的定義可用表示出，則可得到、所滿足的條件．

（Ⅰ）連接AN，延長MN交BC于點P，如圖，

∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折疊知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP是等邊三角形，
∵點M在直線上，

∴；

（Ⅱ）（i）由題意可知，

在中，，

∴，解得，

∴，

∴；

（ii）由題意可知，

在中，，，

∴，

∴，

∴．