Question

【題目】直線y=﹣x+c與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點．

(1)求拋物線表達式；

(2)點P為拋物線上的一個動點，過點P作垂直于x軸的直線分別交x軸和直線AB于M、N兩點，若P、M、N三點中恰有一點是其他兩點所連線段的中點（三點重合除外），請求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣+2；(2)滿足條件的P點坐標為（﹣，）或（﹣2，﹣3）或（1，3）．

【解析】

（1）先把A點坐標代入y=-x+c中求出c=2，從而得到一次函數解析式為y=-x+2，然后把A點坐標代入y=-x2+bx+2中求出b即可得到拋物線解析式；
（2）設P（x，-x2+x+2），則N（x，-x+2），M（x，0），討論：當x＞4時，MN=MP，則-（-x+2）=-x+2-（-x2+x+2）；當0＜x＜4時，PN=MN，則-x2+x+2-（-x+2）=-x+2；當-1＜x＜0時，NP=PM，-x+2-（-x2+x+2）=-x2+x+2；當x＜-1時，NM=PM，-x+2=-（-x2+x+2），然后分別解方程得到對應P點坐標．

(1)把A（4，0）代入y=﹣x+c得﹣2+c=0，解得c=2，

∴一次函數解析式為y=﹣x+2，

當x=0時，y=﹣x+2=2，則B（0，2），

把A（4，0）代入y=﹣+bx+2得﹣8+4b+2=0，解得b=，

∴拋物線解析式為y=﹣+x+2；

(2)設P（x，﹣+x+2，則N（x，﹣x+2），M（x，0），

當x＞4時，MN=MP，則﹣（﹣x+2）=﹣x+2﹣（﹣+x+2），

整理得x2﹣5x+4=0，解得x1=1（舍去），x2=4（舍去），

當0＜x＜4時，PN=MN，則﹣+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x+2，

整理得x2﹣5x+4=0，解得x1=1，x2=4（舍去），此時P（1，3）；

當﹣1＜x＜0時，NP=PM，﹣x+2﹣（﹣+x +2）=﹣+x +2

整理得2x2﹣7x﹣4=0，解得x1=﹣，x2=4（舍去），此時P（﹣， ）；

當x＜﹣1時，NM=PM，﹣x+2=﹣（﹣+x +2），

整理得x2﹣2x﹣8=0，解得x1=﹣2，x2=4（舍去），此時P（﹣2，﹣3）；

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（﹣，）或（﹣2，﹣3）或（1，3）．