Question

【題目】已知：△ABC是⊙O的內接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F．

(1)如圖 (1)所示，當P在線段AB上時，求證：PA·PB＝PE·PF；

(2)如圖 (2)所示，當P為線段BA延長線上一點時，第(1)題的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）對誰成立，證明見解析

【解析】

（1）利用圓周角、弦切角間的關系證明△APF∽△BPE，根據相似三角形的性質證明 PAPB=PEPF 成立．

（2）當點P在線段BA的延長線上時，（1）的結論仍成立．先證明∠AFP=∠PBE，再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，根據成比例線段證明 PAPB=PEPF 成立．

證明：(1) 如圖1，連接 延長與圓交于

∵EB為⊙O的切線，

為⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠ABE，

∵EF∥BC，

∴∠AFP=∠ACB，

故∠AFP=∠ABE．

∠APF=∠EPB，

∴△APF∽△BPE，

∴PAPB=PEPF．

(2)結論成立，理由如下：

∵EB為⊙O的切線，結合（1）問：

∴∠ACB=∠ABT，

∵EF∥BC，

∴∠ACB =∠AFP，

∴∠AFP=∠PBE．

∠BPE=∠FPA，

△PAF∽△PEB，

∴PAPB=PEPF．

當點P在線段BA的延長線上時，（1）的結論仍成立．