Question

【題目】如圖，在中，，點P為內一點，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小華的解題思路，以點A為旋轉中心，將順時針旋轉得到，那么就將求PA+PB+PC的值轉化為求PM+MN+PC的值，連接CN，當點P，M落在CN上時，此題可解．

（1）請判斷的形狀，并說明理由；

（2）請你參考小華的解題思路，證明PA+PB+PC=PM+MN+PC；

（3）當，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形，見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據旋轉的性質可以得出，即可證明出是等邊三角形；

（2）繞點A順時針旋轉得到，根據的旋轉的性質得到，，相加即可得；

（3）由（2）知，當C、P、M、N四點共線時，PA+PB+PC取到最小，由，，可得CN垂直平分AB，再利用直角三角形的邊角關系，從而求出PA+PB+PC的最小值．

（1）等邊三角形；

繞A點順時針旋轉得到MA，

，

是等邊三角形.

（2）繞點A順時針旋轉得到，

，由（1）可知，

.

（3）由（2）知，當C、P、M、N四點共線時，PA+PB+PC取到最小．

連接BN，

由旋轉的性質可得：AB=AN，∠BAM=60°

∴是等邊三角形；

，

，

是AB的垂直平分線，垂足為點Q，

，

，

，

即的最小值為.