Question

【題目】已知點M(3，2)，拋物線L：y＝x2﹣3x+c與x軸從左到右的交點為A，B．

（1）若拋物線L經過點M(3，2)，求拋物線L的解析式和頂點坐標；

（2）當2OA＝OB時，求c的值；

（3）直線y＝x+b經過點M，與y軸交于點N，①求點N的坐標；②若線段MN與拋物線L：y＝x2﹣3x+c有唯一公共點，直接寫出正整數c的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x+2，頂點坐標為(，﹣)；（2）2或﹣18；（3）①(0，﹣1)，②1和3

【解析】

（1）把點M的坐標代入拋物線解析式，利用方程求得c的值；將已得函數解析式配方，可以求得頂點坐標．

（2）設A（，0），則OB=2OA=2||，需對的正負性進行分類討論．若＞0，則B（2，0），根據點A、B關于拋物線對稱軸對稱可求得的值，再把點A坐標代入拋物線解析式，解方程即求得c的值．若＜0，則B（﹣2，0），計算方法與前面一樣．

（3）①利用待定系數法確定一次函數解析式，令x=0即求得點N的坐標．

②由于拋物線開口方向、大小，及對稱軸固定，可把拋物線看作上下平移，再觀察其與線段MN的交點情況．先聯立直線MN和拋物線解析式得到關于x的一元二次方程，計算△＝0時c的值，把c的值代回方程組求得直線和拋物線此時的交點，落在線段MN上，說明c的值滿足條件．把拋物線向下平移，剛好過點M時求出c的值，此時直線與拋物線由兩個交點；繼續往下平移拋物線，就變成只有一個交點；一直到拋物線經過點N為止，求c的值，于是得到滿足條件的c的范圍，再取正整數即為所求．

（1）∵拋物線L：y=x2﹣3x+c經過M（3，2）

∴9﹣9+c=2

解得：c=2．

∴y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣

∴拋物線L的解析式為：y=x2﹣3x+2，頂點坐標為（，﹣）

（2）設A（，0），則OA=||，OB=2OA=2||

①若＞0，則B（2，0）

∵拋物線對稱軸為直線：x=，點A、B關于對稱軸對稱

∴，即

解得：=1

∴A（1，0）代入拋物線解析式得：1﹣3+c=0

解得：c=2

②若＜0，則B（﹣2，0）

∴

解得：=﹣3

∴A（﹣3，0）代入拋物線解析式得：9+9+c=0

解得：c=﹣18

綜上所述，c的值為2或﹣18．

（3）①∵直線y=x+b經過點M（3，2）

∴3+b=2，解得：b=﹣1

∴直線解析式為y=x﹣1

當x=0時，y=﹣1

∴點N坐標為（0，﹣1）

②聯立直線MN與拋物線解析式得：

整理得：x2﹣4x+c+1=0

當直線與拋物線只有一個交點時，△=（﹣4）2﹣4（c+1）=0

解得：c=3

∴方程的解為：

∴此時交點在線段MN上，即c=3滿足“線段MN與拋物線L：y=x2﹣3x+c有唯一公共點”

當拋物線經過點M時，解得c=2，此時拋物線與線段MN有2個公共點

當拋物線往下平移到經過點N時，解得c=﹣1，此時拋物線與線段MN只有交點N

∴當﹣1≤c＜2時，拋物線與線段MN只有一個公共點

∴滿足條件的正整數c的值為1和3．