【題目】已知如圖1，在
中，
，
，點
是
的中點，點
是邊上一點，直線
垂直于直線
于點
，交
于點
.
（1）求證：
.
（2）如圖2，直線
垂直于直線，垂足為點
，交的延長線于點
，求證：
.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【解析】
（1）首先根據點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（2）根據垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM．
（1）∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．
又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．
又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，∵
，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC．
在△BCE和△CAM中，
，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．
輕松暑假總復習系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，動點P從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D（點P不與點A、B重合），作∠DPQ=60°，邊PQ交射線DC于點Q．設點P的運動時間為t秒．
（1）用含t的代數式表示線段DC的長；
（2）當點Q與點C重合時，求t的值；
（3）設△PDQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（4）當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時，直接寫出t的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝BD，AC⊥BD，若AB＝4， AD＝5，則DC的長 （ ）.
A. 7 B. 
C. 
D. 2
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經試銷發現，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數y=kx+b，且x=65時，y=55；x=75時，y=45．
（1）求一次函數y=kx+b的表達式；
（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀下列材料，完成任務：
自相似圖形
定義：若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形．例如：正方形ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點，連接EG，HF交于點O，易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形，且與原正方形相似，故正方形是自相似圖形．
任務：
（1）圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中，每個正方形與原正方形的相似比為 ；
（2）如圖2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明發現△ABC也是“自相似圖形”，他的思路是：過點C作CD⊥AB于點D，則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，則△ACD與△ABC的相似比為 ；
（3）現有一個矩形ABCD是自相似圖形，其中長AD=a，寬AB=b（a＞b）．
請從下列A、B兩題中任選一條作答：我選擇 題．
A：①如圖3﹣1，若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形，且與原矩形都相似，則a= （用含b的式子表示）；
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形，且與原矩形都相似，則a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如圖4﹣1，若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形，再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a= （用含b的式子表示）；
②如圖4﹣2，若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形，再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a= （用含m，n，b的式子表示）．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】有一個二次函數的圖象，三位同學分別說出了它的一些特點：
甲：對稱軸為直線x=4
乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數．
丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個點為頂點的三角形面積為3．請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數解析式__________________．
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【題目】四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，ABCD的邊滿足條件：_____時（填上一個你認為正確的條件），四邊形EFGH是菱形．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】若△ABC的三邊長分別為m﹣2，2m+1，8．
（1）試確定m的取值范圍；
（2）若△ABC的三邊均為整數，求△ABC的周長；
（3）若△ABC為等腰三角形，試確定另外兩邊的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°．點D從點B出發沿射線BC移動，以AD為腰作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°．連接CE．
(1)如圖，求證：△ACE≌△ABD；
(2)點D運動時，∠BCE的度數是否發生變化？若不變化，求它的度數；若變化，說明理由；
(3)若AC＝
，當CD＝1時，請直接寫出DE的長．
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