Question

【題目】已等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°．點D從點B出發沿射線BC移動，以AD為腰作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°．連接CE．

(1)如圖，求證：△ACE≌△ABD；

(2)點D運動時，∠BCE的度數是否發生變化？若不變化，求它的度數；若變化，說明理由；

(3)若AC＝，當CD＝1時，請直接寫出DE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)∠BCE的度數不變，為90°；(3)DE的長為或．

【解析】

（1）由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，則有∠BAD=∠CAE，從而可證到△ACE≌△ABD；
（2）由△ACE≌△ABD可得∠ACE=∠ABD=45°，從而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；
（3）可分點D在線段BC上時（如圖1）和點D在線段BC延長線上時（如圖2）兩種情況討論，在Rt△ABC中運用勾股定理可求出BC，從而得到BD，由△ACE≌△ABD可得CE=BD，在Rt△DCE中運用勾股定理就可求出DE．

解：(1)∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE．

在△ACE和△ABD中，

,

∴△ACE≌△ABD；

(2)∵△ACE≌△ABD，

∴∠ACE＝∠ABD＝45°，

∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；

∴∠BCE的度數不變，為90°；

(3)①點D在線段BC上時，如圖1，

∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，

∴BC＝4．

∵CD＝1，

∴BD＝3．

∵△ACE≌△ABD，

∴CE＝BD＝3．

∵∠BCE＝90°，

∴DE＝＝＝；

②點D在線段BC延長線上時，如圖2，

∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，

∴BC＝4．

∵CD＝1，

∴BD＝5．

∵△ACE≌△ABD，

∴CE＝BD＝5．

∵∠BCE＝90°，

∴∠ECD＝90°，

∴DE＝＝＝．

綜上所述：DE的長為或．