Question

【題目】將一個正方形紙片AOBC放置在平面直角坐標系中，點A（0，4），點O（0，0），B（4，0），C（4，4）點．動點E在邊AO上，點F在邊BC上，沿EF折疊該紙片，使點O的對應點M始終落在邊AC上（點M不與A，C重合），點B落在點N處，MN與BC交于點P．

（Ⅰ）如圖①，當∠AEM＝30°時，求點E的坐標；

（Ⅱ）如圖②，當點M落在AC的中點時，求點E的坐標；

（Ⅲ）隨著點M在AC邊上位置的變化，△MPC的周長是否發生變化？如變化，簡述理由；如不變，直接寫出其值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）△MPC的周長不變，為8，理由見解析

【解析】

（Ⅰ）由折疊的性質知OE＝EM，設OE＝x，則EM＝OE＝x，AE＝x，根據等量關系AE＋OE＝OA列出方程并解答；

（Ⅱ）由線段中點的定義知AM＝AC＝2．設OE＝m，則EM＝OE＝m，AE＝4﹣m，在Rt△AEM中，由勾股定理列出關于x的方程并解答；

（Ⅲ）設AM＝a，則OE＝EM＝b，MC＝4﹣a，在Rt△AEM中，由勾股定理得出a、b的關系式，可證Rt△AEM∽Rt△CMP，根據相似三角形的周長比等于相似比求△MPC的周長．

解：（Ⅰ）如圖①，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EAM＝90°．

由折疊知OE＝EM．

設OE＝x，則EM＝OE＝x，

在Rt△AEM中，cos∠AEM＝

∵∠AEM＝30°

∴cos30°＝＝

∴AE＝x，

∴AE＋OE＝OA，即x＋x＝4，

∴x＝16﹣8．

∴

（Ⅱ）如圖②，

∵點M是邊AC的中點，

∴AM＝AC＝2．

設OE＝m，則EM＝OE＝m，AE＝4﹣m，

在Rt△AEM中，EM2＝AM2＋AE2，

即m 2＝22＋（4﹣m）2，解得m＝．

∴；

（Ⅲ）△MPC的周長不變，為8．

理由：設AM＝a，OE＝EM＝b，

∵AC＝4

∴MC＝4﹣a，

在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2＋AM2＝EM2，

（4﹣b）2＋a2＝b2，解得16＋a2＝8b．

∴16﹣a2＝8（4﹣b）

∵∠EMP＝90°，∠A＝∠C，

∴Rt△AEM∽Rt△CMP，

∴，即，

解得DM＋MP＋DP＝＝8．

∴△CMP的周長為8．