Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC⊥x軸于點C，且AC＝BC，拋物線y＝x2+bx+c經過A、B兩點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點E是線段AB上一動點（不與A、B重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點E的坐標為（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）．

【解析】

（1）先求得點A的坐標，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可得到關于b、c的方程組，從而可求得b、c的值；

（2）設點E的坐標為（x，x+1），則點F的坐標為F（x，x2﹣2x﹣3），則可得到EF與x的函數關系式，利用配方法可求得EF的最大值以及點E的坐標；

（3）存在，分兩種情況考慮：（i）過點E作a⊥EF交拋物線于點P，設點P（m，m2﹣2m﹣3），由E的縱坐標與P縱坐標相等列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出P1，P2的坐標；（ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于P3，設P3（n，n2﹣2n﹣3），根據F的縱坐標與P的縱坐標相等列出關于n的方程，求出方程的解得到n的值，求出P3的坐標，綜上得到所有滿足題意P得坐標．

（1）∵A（﹣1，0）、C（4，0），

∴OA＝1，OC＝4，

∴AC＝5，

∵BC⊥x軸于點C，且AC＝BC，

∴B（4，5），

將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．

（2）∵直線AB經過點A（﹣1，0），B（4，5），

設直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直線AB的解析式為：y＝x+1，

∵二次函數y＝x2﹣2x﹣3，

∴設點E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），

∴當t＝時，EF的最大值為，

∴點E的坐標為（）．

（3）存在，分兩種情況考慮：

（ⅰ）過點E作a⊥EF交拋物線于點P，設點P（m，m2﹣2m﹣3），

∴，

∴m1=，m2=

∴P1（，），P2（，）

（ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于P3，設P3（n，n2﹣2n﹣3）

則有：n2﹣2n﹣3＝﹣

∴n1=, n2=（舍去）

∴P3（，），

綜上所述，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形所有點P的坐標為：P1（，），P2（，），P3（，）．