Question

16．如圖MN為半圓O的直徑，半徑OA⊥MN，C為AM的中點，過C點作BC∥MN交⊙O于點B．
求證：$\widehat{MB}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{AM}$．

Answer 1

分析 先作出輔助線，延長BC交AO于點D．由C為AM的中點，BC∥MN，可得出CD為△AMO的中位線，即可得到AD，OD與AO的關系，從而得出OD=$\frac{1}{2}$BO，在Rt△BDO中，利用特殊三角形可得出∠OBD=30°，得∠BOM=30°，即可得出$\widehat{MB}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{AM}$．

解答 解：如圖，延長BC交AO于點D．
∵C為AM的中點，BC∥MN，
∴AD=OD=$\frac{1}{2}$AO，
∴OD=$\frac{1}{2}$BO，
∵OA⊥MN，
∴∠AOM=90°，
∴∠BDO=90°，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOM=30°，
∴$\widehat{MB}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{AM}$．

點評 本題主要考查了圓的綜合題，解題的關鍵是正確作出輔助線，靈活運用含有30°的直角三角形的知識．