Question

6．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列結(jié)論：①abc＞0；②4a-2b+c＞0；③2a-b＞0；④a＞-1；⑤b²+8a＞4ac．其中正確的有（　　）

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 ①拋物線開口向下，得：a＜0；拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{b}{2a}$＜0，可得b＜0；由拋物線交y軸于正半軸，得到c＞0；所以abc＞0；
②由∵-2＜x₁＜-1可知當(dāng)x=-2時(shí)，y＜0，所以4a-2b+c＜0；
③與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可得拋物線的對(duì)稱軸為-1＜x=-$\frac{b}{2a}$＜0，得到2a＞b，求得2a-b＞0；
④根據(jù)函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可以得出兩根的近似值，從而代入函數(shù)解析式，得出a，b，的值；得出a＜-1；
④由于拋物線的對(duì)稱軸大于-1，所以拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)該大于2，即：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac．

解答 解：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列結(jié)論
①拋物線開口向下，得：a＜0；
拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{b}{2a}$＜0，故b＜0；
拋物線交y軸于正半軸，得：c＞0；
所以abc＞0；故①正確；
②∵-2＜x₁＜-1，∴當(dāng)x=-2時(shí)，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，故②錯(cuò)誤；
③∵與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為-1＜x=-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴2a＞b，
∴2a-b＞0，故③正確；
④已知拋物線經(jīng)過(guò)（-1，2），即a-b+c=2（1），由圖知：當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；聯(lián)立（1）（2），得：a+c＜1；聯(lián)立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，則有a＜-1，所以④正確；
⑤由于拋物線的對(duì)稱軸大于-1，所以拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)該大于2，即：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故⑤正確，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)，以及利用函數(shù)圖象得出函數(shù)與坐標(biāo)軸的近似值，進(jìn)而得出函數(shù)解析式，這種題型是中考中新題型．