Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，點D在AB邊上，△CDE是等邊三角形．

（1）如圖1，當點E在AB邊上時，CE與BE有何數量關系，請說明理由；

（2）如圖2，當點E在△ABC內時，猜想CE與BE的數量關系，并加以證明；

（3）再另畫一種情況，寫出相應結論．（不用證明）

Answer 1

【答案】（1）CE＝BE，理由詳見解析；（2）CE＝BE，證明詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）證出∠BCE＝∠ABC，即可得出CE＝BE；

（2）取AB的中點O，連接OC、OE，證△ACD≌△OCE（SAS），得出∠A＝∠COE，證出∠COE＝∠BOE，證△COE≌△BOE（SAS），即可得出CE＝BE；

（3）當點E在△ABC外時，CE＝BE成立；取AB的中點O，連接OC、OE，同（2）得△ACD≌△OCE（SAS），得出∠A＝∠COE＝60°，證出∠COE＝∠BOE，證△COE≌△BOE（SAS），即可得出CE＝BE．

解：（1）CE＝BE，理由如下：

∵△CDE是等邊三角形，

∴∠ACE＝60°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠BCE＝∠ABC，

∴CE＝BE；

（2）CE＝BE，理由如下：

取AB的中點O，連接OC、OE，如圖2所示：

∵∠ACB＝90°，

∴OC＝AB＝OA＝OB，

∵∠ABC＝30°，

∴∠A＝60°，

∴△AOC是等邊三角形，

∴AC＝OC，∠AOC＝∠ACO＝60°，

∴AC＝OC＝OB，

∵△CDE是等邊三角形，

∴CD＝CE，∠DCE＝60°，

∴∠ACO＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠OCE，

在△ACD和△OCE中，

，

∴△ACD≌△OCE（SAS），

∴∠A＝∠COE，

∵∠AOC＝60°，

∴∠BOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠COE＝∠BOE，

在△COE和△BOE中，

，

∴△COE≌△BOE（SAS），

∴CE＝BE；

（3）如圖3，當點E在△ABC外時，CE＝BE成立；理由如下：

取AB的中點O，連接OC、OE，

同（2）得：△ACD≌△OCE（SAS），

∴∠A＝∠COE＝60°，

∴∠BOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠COE＝∠BOE，

在△COE和△BOE中，

，

∴△COE≌△BOE（SAS），

∴CE＝BE．