Question

【題目】等邊的邊長為3，在邊上取點，使，連接，以為一邊作等邊，連接，則線段的長為__________．

Answer 1

【答案】2或

【解析】

分兩種情況：①當C1在A1B的上方時，證明△A1BC≌△ABC1，則A1C=AC1=2；②當C1在A1B的下方時，作輔助線，構建全等三角形和直角三角形，同理得：△ABA1≌△CBC1，則C1C=A1A=1，∠C1CB=∠BAC=60°，得到30°的Rt△C1CD，根據性質求得CD=，C1D=，最后利用勾股定理可得結論.

分兩種情況：

① 當C1在A1B的上方時，如圖1，

∵AB=3，AA1=2，

∴A1C=3-1=2，

∵△ABC和△A1BC1是等邊三角形，

∴AB=BC，A1B=BC1，∠ABC=∠A1BC1=60°，

∴∠A1BC=∠ABC1，

在△A1BC和△ABC1中，

∵BC=AB，∠A1BC=∠C1BA，A1B=C1B，

∴△A1BC≌△ABC1（SAS），

∴A1C=AC1=2；

② 當C1在A1B的下方時，如圖2，連接C1C，過C1作C1D⊥AC于D，

同理得：△ABA1≌△CBC1，

∴C1C=A1A=1，∠C1CB=∠BAC=60°，

∵∠ACB=60°，

∴∠C1CD=60°，

Rt△C1CD中，∠CC1D=30°，

∴CD=C1C=，C1D=，

Rt△AC1D中，AD=3+=，

由勾股定理得：AC1=，

綜上所述，則線段A1C的長為2或．

故答案為：2或．