Question

（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C），聯(lián)結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，聯(lián)結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是邊BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】

（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C），聯(lián)結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．聯(lián)結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．

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Answer 1

w   w w .x k b 1.c o m

（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN．

（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．

理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，

∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN．

（3）∠ABC=∠ACN．

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，

∴=，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，

∴∠ABC=∠ACN．