Question

【題目】已知直線y=﹣x+6，交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x2+mx+n經過A點，且與直線y=﹣x+6交于另一點P．
（1）若P與B點重合，求拋物線的解析式；
（2）若P在第一象限，過PE⊥x軸于E點，PF⊥y軸于F點，當四邊形PEOF面積為5，求拋物線的解析式；
（3）若△OAP為等腰三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，則y=6；

令y=0，則﹣x+6=0，解得：x=6．

故A點坐標為（6，0），B點坐標為（0，6）．

∵P與B點重合，

∴有 ，解得： ．

故當P與B點重合，拋物線的解析式為y=x2﹣7x+6

（2）

解：結合題意畫出圖形，如圖1所示．

∵點P在線段AB上，

∴設P點坐標為（a，﹣a+6）（0＜m＜6），則有PE=6﹣a，PF=a．

四邊形PEOF面積=PEPF=（6﹣a）×a=5，

解得：a=1，或a=5，

即點P的坐標為（1，5）或（5，1）．

當點P坐標為（1，5）時，有 ，

解得： ，

此時拋物線的解析式為y=x2﹣8x+12；

當點P坐標為（5，1）時，有 ，

解得： ，

此時拋物線的解析式為y=x2﹣12x+36．

綜上可知，拋物線的解析式為y=x2﹣8x+12或者y=x2﹣12x+36

（3）

解：設點P的坐標為（b，6﹣b）．

∵點O（0，0），點A（6，0），

∴OP= ，OA=6﹣0=6，PA= ．

∵△OAP為等腰三角形，

∴分三種情況考慮．

①當OP=OA時，有 =6，

解得：b=0，或b=6（舍去），

此時P點的坐標為（0，6）．

同（1）一樣，故m=﹣7；

②當OP=PA，即 = ，

解得：b=3，

此時P點的坐標為（3，3）．

將P（3，3），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=﹣10；

③當OA=PA時，有6= ，

解得：b=6±3 ，

此時P點的坐標為（6+3 ，﹣3 ）或（6﹣3 ，3 ）．

將P（6+3 ，﹣3 ），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=﹣3 ﹣13；

將P（6﹣3 ，3 ），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=3 ﹣13．

綜上可知：當△OAP為等腰三角形，m的值為﹣7，﹣10，﹣3 ﹣13和3 ﹣13

【解析】（1）分別令x、y=0，可求出B、A點的坐標，再利用待定系數法即可得出結論；（2）由四邊形PEOF面積為5可得出P點的坐標，結合A點的坐標利用待定系數法即可求得結論；（3）設出P點坐標，由兩點間的距離公式表示出△OAP的三條邊，再分類討論相鄰兩邊相等得出結論．