Question

【題目】開口向下的拋物線y＝a（x+1）（x﹣4）與x軸的交點為A、B（A在B的左邊），與y軸交于點C．連接AC、BC．

（1）若△ABC是直角三角形（圖1），求二次函數的解析式；

（2）在（1）的條件下，將拋物線沿y軸的負半軸向下平移k（k＞0）個單位，使平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點，求k的值；

（3）當點C坐標為（0，4）時（圖2），P、Q兩點同時從C點出發，點P沿折線COB運動到點B，點Q沿拋物線（在第一象限的部分）運動到點B，若P、Q兩點的運動速度相同，請問誰先到達點B？請說明理由．（參考數據：.6，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點P先到達點B．

【解析】

（1）根據已知的拋物線解析式，可求得A、B的坐標，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理的得到OC2=OAOB（或由相似三角形證得），即可得到OC的長，從而確定C點的坐標，將其代入拋物線的解析式中，即可確定a的值，從而求出該拋物線的解析式；
（2）根據（1）所得拋物線的解析式，可求出其頂點坐標，由于函數圖象的平移方法已經確定，即沿y軸負半軸向下平移，若拋物線與坐標軸只有兩個交點，則有兩種情況：
①C、O重合，此時拋物線向下平移了OC長個單位，
②拋物線的頂點落在x軸上，此時拋物線向下平移的單位長度與（1）的拋物線的頂點縱坐標相同，
綜合上述兩種情況，即可求得k的值；
（3）當C（0，4）時，可根據其坐標確定此時拋物線的解析式，進而求得其頂點D的坐標；P點的移動距離易求得（即OC+OB），而Q點的軌跡是一條曲線，無法直接求得，因此需要化曲為直，間接的和P點的移動距離進行比較；連接CD、BD，根據B、C、D三點坐標，即可求得CD、BD的長，從而確定BD+CD同OC+OB的大小關系，顯然Q點移動距離要大于CD+BD，這樣就判斷出P、Q兩點的路程誰大誰小，由于兩點的速度相同，那么路程短的就先到達B點．

解：拋物線y＝a（x+1）（x﹣4）與x軸的交點為A（﹣1，0）、B（4，0）．

（1）若△ABC是直角三角形，只有∠ACB＝90°．

由題意易得△ACO∽△COB，

∴，

∴，

∴CO＝2

∵拋物線開口向下，

∴C（0，2）

把C（0，2）代入得：

（0+1）（0﹣4）a＝2，

∴；

（2）由可得：

拋物線的頂點為（，），點C（0，2），

當點C向下平移到原點時，

平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點，

∴k＝2

當頂點向下平移到x軸時，

平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點，

∴；

（3）當點C為（0，4）時，拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣4），

拋物線的頂點為D（，）

連接DC、DB

∵D（，），B（4，0），C（0，4），

∴CD＝，

DB＝；

∴CD+DB＝2.7+6.75＝9.45

∵CO+OB＝4+4＝8，

∴DB+DC＞CO+OB

由函數圖象可知第一象限內的拋物線的長度比CD+DB還要長

所以第一象限內的拋物線的長度要大于折線C→O→B的長度

所以點P先到達點B．