Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的切線，若tan∠ABE= ，AE=3，求BD的長．

Answer 1

【答案】解：∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°，∴∠ADE=90°，
∵AE為⊙O的切線，
∴∠EAB=90°，
∵∠E=∠E，
∴△EAD∽△EBA，∴ ，
∴AE2=EDEB，
在Rt△AEB中，AE=3，tan∠ABE= ，
∴ ，∴AB=6，
∴BE= =
∴32=ED3 ，
∴ED= ，
∴BD=BE﹣ED=3 ﹣ = ．
【解析】由AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，根據鄰補角的定義得到∠ADE=90°，根據切線的性質得到∠EAB=90°，推出△EAD∽△EBA，根據相似三角形的性質得到 ，得到AE2=EDEB，根據三角函數的定義得到AB=6，由勾股定理得到BE= = ，即可得到結論．
【考點精析】利用切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．