Question

【題目】已知：如圖一，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=x﹣2經過A、C兩點，且AB=2．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E，D，同時動點P從點B出發，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，（如圖2）；當點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒；設s= ，當t為何值時，s有最小值，并求出最小值．

（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由直線：y=x﹣2知：A（2，0）、C（0，﹣2）；

∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即 B（4，0）．

設拋物線的解析式為：y=a（x﹣2）（x﹣4），代入C（0，﹣2），得：

a（0﹣2）（0﹣4）=﹣2，解得 a=﹣

∴拋物線的解析式：y=﹣ （x﹣2）（x﹣4）=﹣ x2+ x﹣2．

（2）

解：在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則 tan∠OCB=2；

∵CE=t，∴DE=2t；

而 OP=OB﹣BP=4﹣2t；

∴s= = = （0＜t＜2），

∴當t=1時，s有最小值，且最小值為 1．

（3）

解：在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則 BC=2 ；

在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，則 CD= t；

∴BD=BC﹣CD=2 ﹣ t；

以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，則有兩種情況：

① = = ，解得 t= ；

② = = ，解得 t= ；

綜上，當t= 或 時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】（1）首先根據直線AC的解析式確定點A、C的坐標，已知AB的長，進一步能得到點B的坐標；然后由待定系數法確定拋物線的解析式．（2）根據所給的s表達式，要解答該題就必須知道ED、OP的長；BP、CE長易知，那么由OP=OB﹣BP求得OP長，由∠CED的三角函數值可得到ED的長，再代入s的表達式中可得到關于s、t的函數關系式，結合函數的性質即可得到s的最小值．（3）首先求出BP、BD的長，若以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，已知的條件是公共角∠OBC，那么必須滿足的條件是夾公共角的兩組對應邊成比例，分兩種情況討論即可．