Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+mx+n得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：存在．

拋物線的對稱軸為直線x=﹣ = ，

則D（ ，0），

∴CD= = = ，

如圖1，當CP=CD時，則P1（ ，4）；

當DP=DC時，則P2（ ， ），P3（ ，﹣ ），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（ ，4）或（ ， ）或（ ，﹣ ）

（3）

解：當y=0時，=﹣ x2+ x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，則B（4，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

設E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣ x2+ x+2），

∴FE=﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）=﹣ x2+2x，

∵S△BCF=S△BEF+S△CEF= 4EF=2（﹣ x2+2x）=﹣x2+4x，

而S△BCD= ×2×（4﹣ ）= ，

∴S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD

=﹣x2+4x+ （0≤x≤4），

=﹣（x﹣2）2+

當x=2時，S四邊形CDBF有最大值，最大值為 ，此時E點坐標為（2，1）．

【解析】（1）直接把A點和C點坐標代入y=﹣ x2+mx+n得m、n的方程組，然后解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式；（2）先利用拋物線對稱軸方程求出拋物線的對稱軸為直線x=﹣ ，則D（ ，0），則利用勾股定理計算出CD= ，然后分類討論：如圖1，當CP=CD時，利用等腰三角形的性質易得P1（ ，4）；當DP=DC時，易得P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）；（3）先根據拋物線與x軸的交點問題求出B（4，0），再利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=﹣ x+2，利用一次函數圖象上點的坐標特征和二次函數圖象上點的坐標特征，設E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣ x2+ x+2），則FE=﹣ x2+2x，由于△BEF和△CEF共底邊，高的和為4，則S△BCF=S△BEF+S△CEF= 4EF=﹣x2+4x，加上S△BCD= ，所以S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+ （0≤x≤4），然后根據二次函數的性質求四邊形CDBF的面積最大，并得到此時E點坐標．