Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點C的坐標為（0，﹣2），交x軸于A、B兩點，其中A（﹣1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D．

（1）求二次函數的解析式和B的坐標；
（2）在直線l上找點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求點P的坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為C（0，﹣2），

∴b=0，c=﹣2；

∵y=ax2+bx+c過點A（﹣1，0），

∴0=a+0﹣2，a=2，

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣2．

當y=0時，2x2﹣2=0，

解得x=±1，

∴點B的坐標為（1，0）

（2）

解：設P（m，n）．

∵∠PDB=∠BOC=90°，

∴當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：

① 若△OCB∽△DBP，則 ，

即 = ，

解得n= ．

由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，

∴此時點P坐標為（m， ）或（m， ），

∵點P在第一象限，

∴點P的坐標為（m， ）

②若△OCB∽△DPB，則 ，

即 = ，

解得n=2m﹣2．

由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，

∴此時點P坐標為（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），

∵P在第一象限，m＞1，

∴點P的坐標為（m，2m﹣2）

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為：（m， ），（m，2m﹣2）

（3）

解：方法一：

假設在拋物線上存在第一象限內的點Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形．

如圖，過點Q作QE⊥l于點E．

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，

∴∠DBP=∠QPE．

在△DBP與△EPQ中，

，

∴△DBP≌△EPQ，

∴BD=PE，DP=EQ．

分兩種情況：

①當P（m， ）時，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），

∴ ，

解得 ， （均不合題意舍去）；

②當P（m，2（m﹣1））時，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），

∴ ，

解得 ， （均不合題意舍去）；

綜上所述，不存在滿足條件的點Q．

方法二：

若在第一象限內存在點Q，

①∵B（1，0），P（m， ），

點Q可視為點B繞點P順時針旋轉90°而成，

將點P平移至原點，得P′（0，0），則點B′（1﹣m， ），

將點B′順時針旋轉90°，則點Q′（ ，m﹣1），

將點P′平移回P（m， ），則點Q′平移后即為點Q，

∴Q（ ， ），

將點Q代入拋物線得：m2﹣m=0，

∴m1=1，m2=0，

∴Q1（1，0），Q2（0，﹣ ）（均不合題意舍去），

②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），

同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），

將點Q代入拋物線得：3m﹣3=2（2﹣m）2﹣2，

∴2m2﹣11m+9=0，

∴m1=1，m2= ，

∴Q1（1，0），Q2（﹣ ， ）（均不合題意舍去）

綜上所述，不存在滿足條件的點Q．

【解析】（1）由于拋物線的頂點C的坐標為（0，﹣2），所以拋物線的對稱軸為y軸，且與y軸交點的縱坐標為﹣2，即b=0，c=﹣2，再將A（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到點B的坐標；（2）設P點坐標為（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，則D與O對應，所以當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況討論：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根據相似三角形對應邊成比例，得出n與m的關系式，進而可得到點P的坐標；（3）假設在拋物線上存在第一象限內的點Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形．過點Q作QE⊥l于點E．利用AAS易證△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分兩種情況討論：①P（m， ）；②P（m，2（m﹣1））．都根據BD=PE，DP=EQ列出方程組，求出x與m的值，再結合條件x＞0且m＞1即可判斷不存在第一象限內的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．