Question

【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線 （k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．

（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若將△BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OA=2，AB=4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y= ，可得k=4，

即反比例函數(shù)解析式為：y= ，

∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)= =1，

故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）

（2）

解：由折疊的性質(zhì)可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，

∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，

∴∠CDF=∠GED，

又∵∠EGD=∠DCF=90°，

∴△EGD∽△DCF，

結(jié)合圖形可設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（ ，2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（4， ），

則CF= ，BF=DF=2﹣ ，ED=BE=AB﹣AE=4﹣ ，

在Rt△CDF中，CD= = = ，

∵ ，即 = ，

∴ =1，

解得：k=3

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值，再由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，可求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，繼而得出答案；（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（ ，2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（4， ），即可得CF= ，BF=DF=2﹣ ，在Rt△CDF中表示出CD，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出k的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．