Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是一個正方形.

⑴請你在平面內找到一個點O，并連接OA、OB、OC、OD使得到△OAB、△BOC、△COD、△OAD都是等腰三角形.

⑵這樣的點，你能找到多少個？

⑶試寫出你找到的等腰三角形的頂角的度數.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）9；（3）30°，60°，90°，150°

【解析】試題分析：（1）連接BC，AD交于一點，則根據正方形的對角線相等的性質，OA=OB=OC=OD且AC⊥BD，可以得△OAB≌△0BC≌△OCD≌△OAD；

（2）分情況討論即可；

（3）該等腰三角形的頂角為∠AOB=90°

試題解析： (1)連接BC，AD，BC、AD交于O點，

則OA=OB=OC=OD，

且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA，

∴△OAB≌△0BC≌△OCD≌△OAD，

故對角線交點O即為所求O點；

(2) 5個，分兩種情況討論：

第一種：等腰三角形一正方形的四條邊為底邊.因為等腰三角形的頂點必在底邊的垂直平分線上，而AB、CD的垂直平分線和AD、BC的垂直平分線只有一個交點，即中點，所以O為中點；

第二種：等腰三角形以正方形的四條邊為腰，如圖所示，

AD=OD，BC=DO，AO=BO，同理，這樣的點有4個；

(3)第一種情況時，所有頂角度數都為90°，

第二種情況時，如圖所示：△DOC為等邊三角形，頂角為60°，所以相鄰的兩個頂角∠ADO=∠BCO=30°，所以第四個等邊三角形頂角∠AOB=360°-60°-150°=150°.