Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，其中點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（4，2），點D為對角線OB上一個動點（不包括端點），∠BCD的平分線交OB于點E．

（1）求線段OB所在直線的函數表達式，并寫出CD的取值范圍．
（2）當∠BCD的平分線經過點A時，求點D的坐標．
（3）點P是線段BC上的一個動點，求CD十DP的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設線段OB所在直線的函數表達式為y=kx，

把B（4，2）代入，得2=4k，解得k= ，

∴線段OB所在直線的函數表達式為y= x．

CD的范圍： ≤CD＜4

（2）

解：如圖1中，延長CD交OA于點F，

∵∠ACF=∠ACB=∠CAF，

∴AF=CF，設AF=CF=m，則OF=4﹣m，

∵OF2+OC2=CF2，

∴（4﹣m）2+22=m2，解得m= ，

∴直線CF的解析式為y=﹣ x+2，

由 解得 ，

∴點D坐標（ ， ）

（3）

解：如圖2中，作點C關于直線OB的對稱點F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足為P，則點P、D就是所求的點，此時DC+DP=DF+PD=FP最短（垂線段最短）．

設直線CF的解析式為y=﹣2x+b，把C（0，2）代入得b=2，

∴直線CF解析式為y=﹣2x+2，設直線CF交OB于點E，

由 解得 ，

∴點E坐標（ ， ），

∵C、F關于點E對稱，

∴點F坐標（ ，﹣ ），

∴CD+PD最小值=PF=2+ =

【解析】（1）設線段OB所在直線的函數表達式為y=kx，把B（4，2）代入求出k即可解決問題．（2）如圖1中，延長CD交OA于點F，設AF=CF=m，則OF=4﹣m，由OF2+OC2=CF2 ， 列出方程求出m，求出直線CF的解析式，解方程組即可解決問題．（3）如圖2中，作點C關于直線OB的對稱點F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足為P，則點P、D就是所求的點，此時DC+DP=DF+PD=FP最短，求出點F坐標即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正比例函數的圖象和性質的相關知識，掌握正比函數圖直線，經過一定過原點．K正一三負二四，變化趨勢記心間．K正左低右邊高，同大同小向爬山．K負左高右邊低，一大另小下山巒，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．