Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，連接AD，AE.

(1)若∠BAC＝110°，求∠DAE的度數(shù)；

(2)若∠BAC＝θ(0°＜θ＜180°)，求∠DAE的度數(shù)．(用含θ的式子表示)

Answer 1

【答案】(1) 40°；(2) ①∠DAE＝2θ－180°，②∠DAE＝180°－2θ.

【解析】

（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DA，EC=EA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）分兩種情況進行討論，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，進而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-α，再根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算即可．

(1)∵AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，

∴DB＝DA，EC＝EA.

∵∠BAC＝110°，

∴∠B＋∠C＝70°.

∵DB＝DA，EC＝EA，

∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，

∴∠DAB＋∠EAC＝70°，

∴∠DAE＝110°－70°＝40°.

(2)分兩種情況：

①如答圖1所示，當∠BAC≥90°時，

∵DM垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠B＝∠BAD.

同理可得，∠C＝∠CAE，

∴∠BAD＋∠CAE＝∠B＋∠C＝180°－θ，

∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝θ－(180°－θ)＝2θ－180°.

　　　

答圖1 答圖2

②如答圖2所示，當∠BAC＜90°時，

∵DM垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠B＝∠BAD.

同理可得，∠C＝∠CAE，

∴∠BAD＋∠CAE＝∠B＋∠C＝180°－θ，

∴∠DAE＝∠BAD＋∠CAE－∠BAC＝180°－θ－θ＝180°－2θ.