Question

【題目】在同一直角坐標系中，拋物線C1：y＝ax2﹣2x﹣3與拋物線C2：y＝x2+mx+n關于y軸對稱，C2與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側．

（1）求拋物線C1，C2的函數表達式；

（2）求A、B兩點的坐標；

（3）在拋物線C1上是否存在一點P，在拋物線C2上是否存在一點Q，使得以AB為邊，且以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C1的函數表示式為y＝x2﹣2x﹣3，C2的函數表達式為y＝x2+2x﹣3；（2）A（﹣3，0），B（1，0）；（3）存在滿足條件的點P、Q，其坐標為P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．

【解析】

（1）由對稱可求得a、n的值，則可求得兩函數的對稱軸，可求得m的值，則可求得兩拋物線的函數表達式；

（2）由C2的函數表達式可求得A、B的坐標；

（3）由題意可知AB只能為平行四邊形的邊，利用平行四邊形的性質，可設出P點坐標，表示出Q點坐標，代入C2的函數表達式可求得P、Q的坐標．

解：（1）∵C1、C2關于y軸對稱，

∴C1與C2的交點一定在y軸上，且C1與C2的形狀、大小均相同，

∴a＝1，n＝﹣3，

∴C1的對稱軸為x＝1，

∴C2的對稱軸為x＝﹣1，

∴m＝2，

∴C1的函數表示式為y＝x2﹣2x﹣3，C2的函數表達式為y＝x2+2x﹣3；

（2）在C2的函數表達式為y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（3）存在．

∵AB只能為平行四邊形的一邊，

∴PQ∥AB且PQ＝AB，

由（2）可知AB＝1﹣（﹣3）＝4，

∴PQ＝4，

設P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），

①當Q（t+4，t2﹣2t﹣3）時，則t2﹣2t﹣3＝（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t＝﹣2，

∴t2﹣2t﹣3＝4+4﹣3＝5，

∴P（﹣2，5），Q（2，5）；

②當Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）時，則t2﹣2t﹣3＝（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t＝2，

∴t2﹣2t﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，

∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），

綜上可知存在滿足條件的點P、Q，其坐標為P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．