Question

【題目】如圖，己知拋物線與軸相交于點，其對稱軸與拋物線相交于點，與軸相交于點．

（1）求的長；

（2）平移該拋物線得到一條新拋物線，設新拋物線的頂點為．若新拋物線經過原點，且，求新拋物線對應的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）先利用函數關系式求出點A、B的坐標，再利用兩點間的距離公式即可求得AB的長；

（2）根據A、B兩點坐標結合三角函數可求得∠POA＝∠ABC＝45°，進而可判斷點P在在一、三象限或二、四象限的角平分線上，分情況討論，設點P坐標為（a，a）或（-a，a），利用頂點式表示出新拋物線的函數表達式，再將原點O的坐標代入計算即可．

解：（1）當x＝0時，y＝-1，

∴點A坐標為（0，-1），

∵

∴

∴點B坐標為（1，-2），

∴；

（2）∵點A坐標為（0，-1），點B坐標為（1，-2），

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝45°，

∵∠POA＝∠ABC，

∴∠POA＝45°，

∴點P在一、三象限或二、四象限的角平分線上，

當點P在一、三象限的角平分線上時，

設點P坐標為（a，a）

則設此時新拋物線的解析式為

∵新拋物線經過原點，

∴將（0，0）代入，得

解得（舍去）

∴，

即，

當點P在二、四象限的角平分線上時，

設點P坐標為（-a，a）

則設此時新拋物線的解析式為

∵新拋物線經過原點，

∴將（0，0）代入，得

解得（舍去）

∴，

即，

綜上所述，新拋物線對應的函數表達式為或．