Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E．

（1）求證：∠A=∠ADE；

（2）若AB=25，DE=10，弧DC的長為a，求DE、EC和弧DC圍成的部分的面積S．（用含字母a的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）75﹣a.

【解析】

（1）連接CD，求出∠ADC=90°，根據切線長定理求出DE=EC，即可求出答案；

（2）連接CD、OD、OE，求出扇形DOC的面積，分別求出△ODE和△OCE的面積，即可求出答案

（1）證明：連接DC，

∵BC是⊙O直徑，

∴∠BDC=90°，

∴∠ADC=90°，

∵∠C=90°，BC為直徑，

∴AC切⊙O于C，

∵過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，

∴DE=CE，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠ACB=∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠A=∠ADE；

（2）解：連接CD、OD、OE，

∵DE=10，DE=CE，

∴CE=10，

∵∠A=∠ADE，

∴AE=DE=10，

∴AC=20，

∵∠ACB=90°，AB=25，

∴由勾股定理得：BC===15，

∴CO=OD=，

∵的長度是a，

∴扇形DOC的面積是×a×=a，

∴DE、EC和弧DC圍成的部分的面積S=××10+×10﹣a=75﹣a．