Question

【題目】已知關于x的方程

（1）求證：不論k取什么實數值，這個方程總有實數根；

（2）若等腰三角形ABC的一邊長為，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）10.

【解析】試題分析：（1）先把方程化為一般式：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，要證明無論k取任何實數，方程總有兩實數根，即要證明△≥0；

（2）先利用因式分解法求出兩根：x1=2，x2=2k﹣1．先分類討論：若a=4為底邊；若a=4為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長．

試題解析：（1）證明：方程化為一般形式為：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，

∵△=（2k+1）2﹣4（4k﹣2）=（2k﹣3）2，

而（2k﹣3）2≥0，

∴△≥0，

所以無論k取任何實數，方程總有兩個實數根；

（2）解：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，

整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]=0，

∴x1=2，x2=2k﹣1，

當a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，

因為b、c恰是這個方程的兩根，則2=2k﹣1，

解得k=，則三角形的三邊長分別為：2，2，4，

∵2+2=4，這不滿足三角形三邊的關系，舍去；

當a=4為等腰△ABC的腰，

因為b、c恰是這個方程的兩根，所以只能2k﹣1=4，

則三角形三邊長分別為：2，4，4，

此時三角形的周長為2+4+4=10．

所以△ABC的周長為10．