Question

【題目】Rt△ABC的邊AB=5，AC=4，BC=3，矩形DEFG的四個頂點都在Rt△ABC的邊上，當矩形DEFG的面積最大時，其對角線的長為_______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情形畫出圖形分別求解即可解決問題

情況1：如圖1中，四邊形DEFG是△ABC的內接矩形，設DE=CF=x，則BF=3-x

∵EF∥AC，

∴=

∴=

∴EF=(3-x)

∴S矩形DEFG=x(3-x)=﹣(x-)2+3

∴x=時，矩形的面積最大，最大值為3，此時對角線=．

情況2：如圖2中，四邊形DEFG是△ABC的內接矩形，設DE=GF=x，

作CH⊥AB于H，交DG于T．則CH=，CT=﹣x，

∵DG∥AB，

∴△CDG∽△CAB，

∴

∴

∴DG=5﹣x，

∴S矩形DEFG=x（5﹣x）=﹣（x﹣）2+3，

∴x=時，矩形的面積最大為3，此時對角線==

∴矩形面積的最大值為3，此時對角線的長為或

故答案為或