Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，tanA= ，點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H，給出如下幾個結論：（1）△AED≌△DFB；（2）CG與BD一定不垂直；（3）∠BGE的大小為定值；（4）S四邊形BCDG= CG2；其中正確結論的序號為 ．

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）
【解析】解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
在△AED和△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB，故本小題正確；
（2）當點E，F分別是AB，AD中點時（如圖1），

由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，
∵點E，F分別是AB，AD中點，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC與△BGC中，
，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；（3）∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°，故本選項正確．（4）∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點B、C、D、G四點共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
過點C作CM⊥GB
于M，CN⊥GD于N．（如圖2）

則△CBM≌△CDN，（AAS）
∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN ，
S四邊形CMGN=2S△CMG ，
∵∠CGM=60°，
∴GM= CG，CM= CG，
∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2× × CG× CG= CG2 ， 故本小題正確．
綜上所述，正確的結論有（1）（3）（4）．
所以答案是：（（1）（3）（4）．
【考點精析】掌握菱形的性質和圓內接四邊形的性質是解答本題的根本，需要知道菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．