Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC=2∠D，連接OA、OB、OC、AC，OB與AC相交于點E．

（1）求∠OCA的度數；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2 ， 求圖中陰影部分面積（結果保留π和根號）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠ABC+∠D=180°，

∵∠ABC=2∠D，

∴∠D+2∠D=180°，

∴∠D=60°，

∴∠AOC=2∠D=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°；

（2）

解：∵∠COB=3∠AOB，

∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，

∴∠AOB=30°，

∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，

在Rt△OCE中，OC=2，

∴OE=OCtan∠OCE=2tan30°=2×=2，

∴S△OEC=OEOC=×2×2=2，

∴S扇形OBC==3π，

∴S陰影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2．

【解析】（1）根據四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形得到∠ABC+∠D=180°，根據∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，從而求得∠D=60°，最后根據OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；
（2）首先根據∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，從而得到∠COB為直角，然后利用S陰影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．
此題考查了圓的綜合應用，涉及知識點有圓內接四邊形性質，割補法求扇形面積.