Question

如圖，直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（

1

2

，0）、（2，0）和（2，3），AB∥CD，∠C=90°，CD=CB．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c過原點(diǎn)O與點(diǎn)（7，1），且對(duì)稱軸為過點(diǎn)（4，3）與y軸平行的直線，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC+PD最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵AB∥CD，C（2，3），
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是3，
∵CD=CB，B（2，0），
∴點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為3-2=1，
又∵點(diǎn)D在第二象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-1，3）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
由題意得：

49a+7b+c=1 c=0 - b 2a =4

，
解得

a=- 1 7 b= 8 7 c=0

，
所以，拋物線解析式為y=-

1

7

x²+

8

7

x；

（3）存在一點(diǎn)P（1，1），使得PA+PB+PC+PD．
理由如下：顯然AC、BD的交點(diǎn)Q滿足QA+QB+QC+QD最小，
設(shè)直線AC解析式為y=mx+n，
∵A（

1

2

，0），C（2，3），
∴

1 2 m+n=0 2m+n=3

，
解得

m=2 n=-1

，
∴直線AC的解析式為y=2x-1，
設(shè)直線BD的解析式為y=ex+f，
∵B（2，0），D（-1，3），
∴

2e+f=0 -e+f=3

，
解得

e=-1 f=2

，
∴直線BD的解析式為y=-x+2，
聯(lián)立

y=2x-1 y=-x+2

，
解得

x=1 y=1

，
∴Q（1，1），
當(dāng)x=1時(shí)，y=-

1

7

x²+

8

7

x=1，
∴點(diǎn)Q在此拋物線上，
∴存在點(diǎn)P（1，1）使得PA+PB+PC+PD最小．