Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F分別是AC，AB，BC的中點．點P從點D出發沿折線DE－EF－FC－CD以每秒7個單位長的速度勻速運動；點Q從點B出發沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC－CA于點G．點P，Q同時出發，當點P繞行一周回到點D時停止運動，點Q也隨之停止．設點P，Q運動的時間是t秒（t>0）．

（1）D，F兩點間的距離是 ；

（2）射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說明理由；

（3）當點P運動到折線EF－FC上，且點P又恰好落在射線QK上時，求t的值；

（4）連結PG，當PG∥AB時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）25；（2）能，t=；（3），；（4）和

【解析】

（1）根據中位線的性質求解即可；

（2）能，連結，過點作于點，由四邊形為矩形，可知過的中點時，把矩形分為面積相等的兩部分，此時，通過證明，可得，再根據即求出t的值；

（3）分兩種情況：①當點在上時；②當點在上時，根據相似的性質、線段的和差關系列出方程求解即可；

（4）（注：判斷可分為以下幾種情形：當時，點下行，點上行，可知其中存在的時刻；此后，點繼續上行到點時，，而點卻在下行到點再沿上行，發現點在上運動時不存在；當時，點，均在上，也不存在；由于點比點先到達點并繼續沿下行，所以在中存在的時刻；當時，點，均在上，不存在．

解：（1）∵D， F分別是AC， BC的中點

∴DF是△ABC的中位線

∴

（2）能．

連結，過點作于點．

由四邊形為矩形，可知過的中點時，

把矩形分為面積相等的兩部分．

（注：可利用全等三角形借助割補法或用中心對稱等方法說明），

此時．

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵F是BC的中點

∴

∴．

故．

（3）①當點在上時，如圖1．

，，

由，得．

∴．

②當點在上時，如圖2．

已知，從而，

由，，得．

解得．

（4）和．

（注：判斷可分為以下幾種情形：當時，點下行，點上行，可知其中存在的時刻；此后，點繼續上行到點時，，而點卻在下行到點再沿上行，發現點在上運動時不存在；當時，點，均在上，也不存在；由于點比點先到達點并繼續沿下行，所以在中存在的時刻；當時，點，均在上，不存在．）