Question

【題目】如圖1，A（1，0）、B（0，2），雙曲線y＝（x＞0）

（1）若將線段AB繞A點順時針旋轉90°后B的對應點恰好落在雙曲線y＝（x＞0）上

①則k的值為　 ；

②將直線AB平移與雙曲線y＝（x＞0）交于E、F，EF的中點為M（a，b），求的值；

（2）將直線AB平移與雙曲線y＝（x＞0）交于E、F，連接AE．若AB⊥AE，且EF＝2AB，如圖2，直接寫出k的值　 ．

Answer 1

【答案】（1）①k＝3；②2；（2）k＝．

【解析】

（1）先求出A、B點的坐標，再求出旋轉后B點的坐標，進而由待定系數法求出k便可；
（2）設出EF的解析式，再求出點E、F的坐標，由中點坐標公式求得M點的坐標，進而求；
（3）由△ABO∽△EHA得：，設EH=m，則AH=2m，求出EF的表達式并與反比例函數表達式聯立求出點F坐標，即可求解

（1）①設旋轉后點B的對應點為點C，過點C作CD⊥x軸于點D，如圖所示

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAO+∠CAD＝90°，

∵∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠CAD，

在△OAB和△DCA中，

，

∴△OAB≌△DCA（AAS），

∴CD＝OA＝1，

AD＝OB＝2，

∴OD＝OA+AD＝3，

∴C（3，1），

把C（3，1）代入y＝中，得k＝3，

故答案為3；

②直線AB表達式中的k值為﹣2，AB∥EF，則直線EF表達式中的k值為﹣2，

設點E（m，n），mn＝3，

直線EF的表達式為：y＝﹣2x+t，

將點E坐標代入上式并解得，直線EF的表達式為y＝﹣2x+2m+n，

將直線EF表達式與反比例函數表達式聯立并整理得：

2x2﹣（2m+n）x+3＝0，

x1+x2＝，x1x2＝，

則點F（n，），

則a＝（），b＝（n+），

＝2；

（2）故點E作EH⊥x軸交于點H，

由（1）知：△ABO∽△EHA，

∴，設EH＝m，則AH＝2m，

則點E（2m+1，m），且k＝m（2m+1）＝2m2+m，

直線AB表達式中的k值為﹣2，AB∥EF，則直線EF表達式中的k值為﹣2，

設直線EF的表達式為：y＝﹣2x+b，將點E坐標代入并求解得：b＝5m+2，

故直線EF的表達式為：y＝﹣2x+5m+2，

將上式與反比例函數表達式聯立并整理得：2x2﹣（5m+2）x+3＝0，

用韋達定理解得：xF+xE＝，則xF＝，

則點F（m，4m+2），

則EF＝＝2AB＝2×，

整理得：3m2+4m﹣4＝0，

解得：m＝或﹣2（舍去負值），

k＝m（2m+1）＝2m2+m＝．