Question

【題目】如圖，在△ ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，過點G作EF ∥BC交AB于E，交AC于F，過點G作GD⊥ AC于D，下列四個結論：①EF = BE+CF；②∠BGC= 90 °+∠A；③點G到△ ABC各邊的距離相等；④設GD =m，AE + AF =n，則S△AEF=mn.其中正確的結論有（ ）

A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據BG，CG分別是∠ABC和∠ACB的平分線，EF ∥BC，可得EB=EG，FG=FC，從而證得①正確；根據三角形內角和定理即可求出②正確；根據角平分線的性質可知點G是△ABC的內心，從而可得③正確；連接AG，結合點G是內心，即可表示出△AEG和△AFG的面積，從而可知④正確.

∵BG，CG分別是∠ABC和∠ACB的平分線，

∴∠EBG=∠GBC，∠FCG=∠GCB

∵EF ∥BC

∴∠EGB=∠GBC，∠FGC=∠GCB

∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠FGC

∴EB=EG，FG=FC

∴EF = BE+CF

故①正確；

在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）

在△GBC中，，

即

所以②正確；

∵點G是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，

∴點G是△ABC的內心

∴點G到△ABC各邊的距離相等

故③正確；

連接AG，

∵點G到△ABC各邊的距離相等，GD=m,AE+AF=n，

∴

故④正確；

綜上答案選D.