Question

【題目】(14分)如圖1，已知點B(0，6)，點C為x軸上一動點，連接BC，△ODC和△EBC都是等邊三角形．

　　

　　圖1　　　　　　　　　　圖2　　　　　　　 　　　圖3

(1)求證：DE＝BO；

(2)如圖2，當點D恰好落在BC上時．

①求OC的長及點E的坐標；

②在x軸上是否存在點P，使△PEC為等腰三角形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，說明理由；

③如圖3，點M是線段BC上的動點(點B，C除外)，過點M作MG⊥BE于點G，MH⊥CE于點H，當點M運動時，MH＋MG的值是否發生變化？若不會變化，直接寫出MH＋MG的值；若會變化，簡要說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)① , ②存在 , ③不會變化，MH＋MG＝6

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）①由點B（0，6），得到OB=6，根據全等三角形的性質得到∠CDE=∠BOC=90°，根據等邊三角形的性質得到∠DEC=30°，求得CE=4，過E作EF⊥x軸于F，角三角形即可得到結論；②存在，如圖d，當CE=CP=4時，當CE=PE，根據等腰三角形的性質即可得到結論；③不會變化，如圖c，連接EM，根據三角形的面積公式即可得到結論．

試題解析：(1)證明：∵△ODC和△EBC都是等邊三角形，

∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.

∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，

即∠ECD＝∠BCO.

∴△DEC≌△OBC(SAS)．

∴DE＝BO.

(2)①∵△ODC是等邊三角形，

∴∠OCB＝60°.

∵∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝30°.

設OC＝x，則BC＝2x，

∴x2＋62＝(2x)2.解得x＝2.

∴OC＝2，BC＝4.

∵△EBC是等邊三角形，

∴BE＝BC＝4.

又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，

∴E(4，6)．

②若點P在C點左側，則CP＝4，OP＝4－2＝2，點P的坐標為(－2，0)；

若點P在C點右側，則OP＝2＋4＝6，點P的坐標為(6，0)．

③不會變化，MH＋MG＝6.